Межотраслевой балансовый метод и его применение в задачах математической экономики

Поэтому для практических расчетов, если просчитывается один или всего несколько вариантов, рационально пользоваться первым соотношением, если же расчет производится для нескольких вариантов конечной продукции с последующими неоднократными изменениями, то целесообразно рассчитать один раз коэффициенты полных затрат, а варианты просчитать по второй формуле.

Для решения системы алгебраических уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов используют такие методы, как метод исключения Гаусса, метод полного исключения Жордана-Гаусса, метод Зейделя, метод простых итераций.

Теоретические основы метода

Пусть дана система уравнений вида:

В качестве начального (нулевого) приближения выбирается вектор свободных членов

То есть

Каждая последующая итерация базируется на результатах предыдущей.

Для k-ой итерации имеем:

По данным формулам можно получить решение с любой точностью, при условии, что итерационный процесс сходится.

Достаточный признак сходимости итерационного процесса: если максимальная сумма абсолютных величин коэффициентов в первой части уравнений меньше единицы, то процесс сходится, то есть

Метод простых итераций является приближенным методом. Критерием остановки вычислительного процесса может служит например, условие.

i=1,2,…,n

Где E - наперед заданное число, характеризующие требуемую точность вычислений.

Пример:Три отрасли: промышленность, сельское хозяйство и прочие отрасли составляют основу межотраслевого баланса. На плановый период задана матрица прямых затрат А и вектор конечной продукции Y:

0,45 0,25 0,2 24

А = 0,2 0,12 0,03 Y = 18

0,15 0,05 0,08 6

Рассчитать плановые объемы валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей с точностью Е = 0,1. Результаты представить в форме межотраслевого баланса.

Для расчета валовой продукции составим систему уравнений:

Х1 = 0,45*Х1 + 0,25*Х2 + 0,2*Х3 + 24,

Х2 = 0,2*Х1 + 0,12*Х2 + 0,03*Х3 + 18,

Х3 = 0,15*Х1 + 0,05*Х2 + 0,08*Х3 + 6;

Для проверки сходимости итерационного процесса составим суммы:

,45 + 0,25 + 0,2 = 0,9,

,2 + 0,12 + 0,03 = 0,35,

,15 + 0,05 + 0,08 = 0,28,

Max {0.9; 0.35; 0.28} = 0.9 < 1

По достаточному признаку итерационный процесс сходится. Определим нулевое приближение:

Х1(0) = 24,

Х2(0) = 18,

Х3(0) = 6,

Х1(1) = 0,45*Х1(0) + 0,25*Х2(0) + 0,2*Х3(0) + 24

Х2(1) = 0,2*Х1(0) + 0,12*Х2(0) + 0,03*Х3(0) + 18

Х3(1) = 0,15*Х1(0) + 0,05*Х2(0) + 0,08*Х3(0) + 6

Тогда Х1(1) = 40,5,

Х2(1) = 25,1,

Х3(1) = 20,52,

Проверим точность расчетов. Для этого вычислим величины

|Xi(1) - Xi(0)|, i = 1,2,3,

и составим их с требуемым значением Е = 0,1

i = 1, |40.52 - 24| = 16.52 > 0.1

i = 2, |25.1 - 18| = 7.9 > 0.1

i = 3, |20.52 - 6| = 14.5 > 0.1

Так как требуемая точность не достигнута, переходим ко второй итерации.

Х1(2) = 0,45*40,5 + 0,25*25,1 + 0,2*20,5 + 14 = 52,6,

Х2(2) = 0,2*40,5 + 0,12*25,1 + 0,03*20,5 + 18 = 29,73,

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6

Другое по теме

Протекционистские меры поддержки товаропроизводителей
На практике протекционизм развивается и применяется с периода возникновения международных торговых отношений. В ХХ в. особенно сильное влияние протекционизма наблюдалось в период между двумя мировыми войнами. Внешним проявлением протекционизма является положительное сал ...

Разделы